Sissejuhatus trigonomeetriasse

Vaata ka: Geomeetria - sissejuhatus

Trigonomeetria, nagu nimigi võib oletada, on seotud kolmnurkadega.

Täpsemalt öeldes on trigonomeetria täisnurksete kolmnurkade kohta, kus üks sisemine nurk on 90 °. Trigonomeetria on süsteem, mis aitab meil kolmnurgas välja töötada puuduvad või tundmatud küljepikkused või -nurgad.

Kolmnurkade kohta leiate lisateavet meie lehelt Hulknurgad kas peaksite enne siin edasist lugemist põhitõdesid täiendama?

Parempoolsed kolmnurgad: meeldetuletus

Ristnurgal oleval kolmnurgal on üks täisnurk. Definitsiooni järgi tähendab see, et kõik küljed ei saa olla ühepikkused. Allpool on näidatud tüüpiline täisnurkne kolmnurk.

Tähtsad tingimused täisnurksete kolmnurkade jaoks


Ristnurkne kolmnurk, mis näitab vastand-, külgnevat- ja hüpotenuusi
  • The täisnurk tähistab nurgas olev väike kast.



  • Teine nurk, mida me (tavaliselt) teame, on tähistatud θ (teeta) .

  • Parempoolse nurga vastas olevat külge, mis on pikim külg, nimetatakse hüpotenuus .

  • Vastast θ nimetatakse küljeks vastupidine .



  • Θ kõrval asuvat külge, mis pole hüpotenuus, nimetatakse külgnev .

Pythagorase teoreem vs trigonomeetria


Pythagoras oli Kreeka filosoof, kes elas üle 2500 aasta tagasi. Talle omistatakse mitmeid olulisi matemaatilisi ja teaduslikke avastusi, millest vaieldamatult kõige olulisem on saanud nimeks Pythagorase teoreem.

See on oluline reegel, mis kehtib ainult täisnurksetele kolmnurkadele . See ütleb seda 'Hüpotenuusi ruut võrdub kahe teise külje ruutude summaga.'

See kõlab üsna keerukalt, kuid tegelikult on see üsna lihtne mõiste, kui näeme seda skeemil:

mis on töö ja eraelu tasakaalu määratlus
Pythagoras

Pythagorase teoreem ütleb:

kunikaks+ bkaks= ckaks

Niisiis, kui teame kolmnurga kahe külje pikkust ja peame arvutama kolmanda, võime kasutada Pythagorase teoreemi.

Kui aga teame ainult ühte külje pikkust ja üht sisemist nurka, siis pole Pythagorasest meile eraldi kasu ja peame kasutama trigonomeetriat.


Tutvustame siinust, kosinust ja tangenti

Trigonomeetrias on kolm põhifunktsiooni, millest igaüks on täisnurga kolmnurga üks külg jagatud teisega.

Kolm funktsiooni on:

Nimi Lühend Seos kolmnurga külgedega
Siinus Ilma Patt (θ) = vastand / hüpotenuus
Kosinus Midagi Cos (θ) = külgnev / hüpotenuus
Tangent Niisiis Tan (θ) = vastas / külgnev


Siinuse, kosinuse ja tangenti arvutamine

Teile võib olla kasulik siinust, kosiini ja tangenti meenutada kui SOH CAH TOA-d.

Trigonomeetriliste funktsioonide mäletamine võib olla alustuseks keeruline ja segane. Isegi SOH CAH TOA võib olla keeruline. Meeldejäämiseks võiksite proovida luua naljaka mnemotehnika. Lihtsalt hoidke iga kolme tähega rühma samas järjekorras.



Näiteks võiks TOA SOH CAH olla ' T ta VÕI ld TO arheoloog S kell VÕI n H on C kaer TO nd H kell ’.

Parim näpunäide!


Nende omavaheliste seoste tõttu saab Tan θ arvutada ka järgmiselt:
Patt θ / Cos θ.

See tähendab, et:

  • Patt θ = Cos θ × Tan θ ja
  • Cos θ = Sin θ / Tan θ.

Trigonomeetria ringis

Suhtlusringide kohta lisateabe saamiseks või kiire värskenduse saamiseks vaadake meie lehte Ringid ja kumerad kujundid .

Kolmnurkade kaalumisel piirdume alla 90 ° nurkadega. Kuid trigonomeetria on võrdselt rakendatav kõigi nurkade puhul, 0–360 °. Et mõista, kuidas trigonomeetrilised funktsioonid töötavad üle 90 ° nurkadega, on kasulik mõelda ringi sees ehitatud kolmnurkadele.

Ringjoone ristkoordinaadid.



Vaatleme ringi, mis on jagatud neljaks kvadrandiks.

Tavapäraselt loetakse ringi keskpunkti ristkülikukujuliseks koordinaadiks (0,0). See tähendab, et x väärtus on 0 ja y väärtus on 0. Lisateavet selle kohta leiate meie lehelt Dekartesiuse koordinaadid .

Keskel vasakul asuva osa x väärtus on väiksem kui 0 või on negatiivne, samas kui kõigel paremal on positiivne väärtus.

Samamoodi on mis tahes keskpunkti all oleva y väärtus väiksem kui 0 , või on negatiivne ja mis tahes punkti ülaosas on positiivne y väärtus.

õpetajaks vajalikud oskused

Trigonomeetriliste funktsioonidega ringi kasutamine nurkade puhul, mis on suuremad kui 90 °.

Skeem i näitab, mis juhtub, kui joonistada raadius ringi keskelt paremale mööda x-telge (ütleme, et see on positiivses suunas).

Seejärel pöörame raadiust vastupäeva läbi teeta nurga θ. Nii luuakse täisnurkne kolmnurk.

Ilma θ = vastupidine (punane joon)
hüpotenuus (sinine joon)

Cos θ = külgnev (roheline joon)
hüpotenuus (sinine joon)

Sisse Skeem üül , oleme pööranud raadiust edasi vastupäeva, mööda vertikaali (y-telge) järgmisesse kvadranti. Siin on t nüri nurk, vahemikus 90–180 °. Võrdlusnurk alfa α on võrdne 180 ° - θ ja see on täisnurga kolmnurga teravnurk.

Patt θ = Patt α = vastupidine (punane joon)
hüpotenuus (sinine joon)

Nii sinine kui ka punane joon on positiivsed, nii et patt θ on positiivne.

Cos θ = −Cos α = külgnev (roheline joon)
hüpotenuus (sinine joon)

Cos θ on negatiivne, kuna roheline joon on negatiivne (see asub piki x-telge alguspunktist vasakul (0,0), nii on ka x-telje negatiivses osas).

Sisse Skeem iii , on raadius pööratud edasi vastupäeva järgmisse kvadranti nii, et value väärtus jääb vahemikku 180 ° kuni 270 °. Kõigil rohelistel, punastel ja sinistel joontel on negatiivsed väärtused ja α = θ - 180 °. Seega on siinused ja koosinus kõik positiivse väärtusega.

Skeem iv näitab viimast kvadrandi. Value väärtus on vahemikus 270 ° kuni 360 °, roheline joon on positiivne, kuid punane ja sinine on negatiivsed. Patt θ on seega positiivne ja Cos θ negatiivne. a = 360 ° - θ.


Üksuse ring

The 'Üksuse ring' on ülaltoodud diagrammidel näidatud ringi erijuhtum. Üksuse ring on raadiusega 1.

Ühikringiga töötades saame mõõta otse cos, pattu ja tan:

Siinus, koosinus ja tangent - ühikuring

Graafikud siinusest, kosinusest ja tangentsist

Nurga ja siinuse või cos vahelise seose saab joonistada graafikuna:

  • y = patt (θ)
  • y = cos (θ)
Sine, Kosinuse graafik. www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

Näete, et kui θ on 0, siis on see ka siinus. See on mõistlik, kui vaatate ülaltoodud ühiku ringi skeemi. Kui θ = 0, asuvad nii külgnev kui ka hüpotenuus piki positiivset x-telge ja punane joon, mis näitab patu väärtust θ kaob (kolmnurka pole).

Kosinusgraaf on siinusega sama kuju, kuid selle väärtus on 1, kui θ = 0. Vaadates uuesti ülaltoodud ringi, kui θ = 0, asuvad nii külgnev kui ka hüpotenuus piki positiivset x-telge ja neil on sama väärtus, nii et kõrvuti / hüpotenuus = 1.

Siinus- ja koosinusgraafikute tsüklilisus on kogu teaduses, looduses ja inseneritöös uskumatult oluline. Näited hõlmavad elektrirakendusi (vahelduvvool), heli- ja raadiolainet, lihtsat harmoonilist liikumist (näiteks õõtsuvat pendlit), satelliitide trajektoori või mõõna tõusu ja langust.

The amplituud tsüklilise lainemustri väärtus on graafi „piigi” väärtus, st kaugus x-teljest maksimaalse või minimaalse väärtuseni. Ülaltoodud siinuse ja kosinuse graafikutes on amplituudi väärtus 1. Sellistes rakendustes nagu heli või elektrivool, amplituud varieerub sõltuvalt heli helitugevusest või voolu suurusest. Ka loodete amplituud varieerub, sõltuvalt kuu asukohast ja selle ‘tõmbest’ maakeral.

Puutujagraafi (tan θ) omadused on üsna erinevad. Puutujagraafil puudub amplituud (lainelaadsed omadused), kuna sellel pole maksimaalseid ega minimaalseid tippväärtusi. See muutub −∞-lt + ∞-le (negatiivne ja positiivne lõpmatus), ületades 0 iga 180 ° järel:

Puutujajoonte graafik.

Lõpmatuses (positiivses või negatiivses) öeldakse määratlemata. Sellest graafikust saame paremini aru, kui arvestada võrrandit tan θ = sin θ / cos θ. Kui patt θ on null, peab ka tan θ olema null. Ja vastupidi, kui cos θ on null, siis saab nimetaja võrrandis nulliks. Kõigil, mis on jagatud nulliga, on lõpmatuse väärtus, nii et values ​​väärtustel, mille koosinus on null, on graafikul ka lõpmatuse puutuja. Lõpmatusel pole täpset väärtust, nii et jooned puutuja graafikul muutuvad järjest vertikaalsemaks, kui y-telg suureneb järjest suuremate väärtusteni. Jooned lähevad graafiku vertikaalsetele joontele lähemale ja lähemale konkreetsete values ​​väärtuste korral, näiteks 90 ° juures. Kõiki neid vertikaaljooni nimetatakse aniks asümptoot .

Siinuse, kosinuse ja tangendi pöördvõrded

Samuti saate välja töötada pöördfunktsiooni sin, cos ja tan, mis tähendab 1 jagatud selle funktsiooniga. Neid tähistatakse kui sin / cos / tan -1. See võimaldab teil nurka välja töötada, kui teil on selle patt, cos või tan.

Teisisõnu:

milline neist on mitteverbaalse suhtluse tõhus kasutamine?
  • Patt (90) = 1
  • Patt - 1 (1) = 90 °

Trigonomeetria ja kalkulaatorid


Teaduslikel kalkulaatoritel on sin, cos ja tan funktsioonid, samuti pöördfunktsioonid. Kalkulaatori tööpõhimõtte väljatöötamiseks tasub võtta mõni minut, sest see võib säästa tundide kaupa vajadusel jamamist.


Muud kolmnurgad ja trigonomeetria

Trigonomeetria töötab ka teiste kolmnurkade puhul, lihtsalt mitte päris samamoodi. Selle asemel on sellisel kolmnurgal põhinevad kaks reeglit:

Kolmnurgad trigonomeetrias

Siinuse reegel on:

kuni/ilma A-ta=b/ilma B-ta=c/ilma C-ta

Kosinuse reegel on:

ckaks= akaks+ bkaks- 2ab cos (C)


Miks mul on vaja trigonomeetriat?

See on mõistlik küsimus ja vastus on vähemalt osaliselt seetõttu, et paljudes riikides matemaatika õppekava üle otsustajad arvavad, et te peaksite sellest teadma ja seda väga mõjuval põhjusel.

Trigonomeetria on väidetavalt kõige olulisem matemaatiline seos, mis kunagi avastatud. Kolmnurgad on looduses üks lihtsamaid vorme, kuid nende matemaatikal on eluline tähtsus, eriti seal, kus on vaja täpseid kauguse mõõtmisi. Kui hakkame mõtlema rakenduste üle, kus täpsed vahemaad on olulised, on ilmne, et neid on kümneid, sealhulgas navigeerimine mere- ja lennundussüsteemides, astronoomia, satelliitsüsteemid, geograafilised uuringud ja kartograafia (kaardid), arhitektuur ja ehitustehnika, graafiline disain ja arvutiga loodud kujutised.

Paljud neist toetuvad mõõtmistehnikale, mida nimetatakse triangulatsioon , mis rakendab trigonomeetria mõisteid.

kuidas head kõnet esitada

Näide: trigonomeetria ja navigeerimine

Merel purjetades või kruiisides, kuhu satute, mõjutavad:

  • Suund, milles juhtite;
  • Kiirus, millega te selles suunas liigute (st mootori või tuule kiirus); ja
  • Loode suund ja kiirus.

Võite sõita ühes suunas, kuid tõusulaine võib tulla ühelt poolt ja suruda teid teisele poole. Teil on vaja trigonomeetriat, et välja selgitada, kui kaugele te sõite ja mis täpses suunas.

Trigonomeetria abil oma sõidusuuna väljatöötamine.

Olete täiesti õigesti välja mõelnud, et see pole nii lihtne kui kõik see, sest tegelik sõidusuund sõltub loodete kiirusest ja teie kiirusest, kuid tõenäoliselt näete, miks trigonomeetria võib olla oluline!


Töötanud näide

Olete väljasõidul ühepäevase purjetamise ajal ega pahanda tegelikult, kuhu jõuate. Alustasite suundumist otse itta ja plaanite ühe tunni purjetada reisikiirusel 10 km / h. Loode on otse põhja poole ja kulgeb kiirusega 5km / h. Mis suunas te lõpuks rändate?

  1. Kõigepealt joonistage oma kolmnurk ja sildistage küljed. Suundute otse itta, nii et teeme kolmnurga põhja pikkusega 10km. Loode tõukab sind põhja poole, nii et teeme selle paremale küljele. Ja soovite teada, mis suunas te lõpuks lähete, nii et see on nurk θ.

    Trigonomeetria näide
  2. Teil on vastupidine ja külgnev, mis tähendab, et peate kasutama puutuja. Tan θ = vastas / külgnev = 5/10 = 0,5.

  3. Nüüd on aeg kasutada pöördpruunimise funktsiooni. Pöördpruun 0,5 on 26,6 °. Teisisõnu, tan 26,6 = 0,5.

  4. Kompass Suund (navigeerimisel teie suund) mõõdetakse põhjast , mis on teie kompassil 0 °. Teie vastus punktilt (3) on aga mõõdetud 90 ° -st või idast. Seetõttu peate vastuse saamiseks lahutama oma vastuse 90 ° -st: Te liigute suunas (suund) 63,4 °, mis asub kirdeosa (45 °) ja idaosa kirdeosa (67,5 °) vahel.

Miks see oluline on? Koju sõitmiseks peate muidugi teadma, millises suunas te sõitsite!

Päriselus peate meeles pidama ka seda, et selleks ajaks võib tõusulaine olla muutunud ...


Järeldus

Trigonomeetrial ei pruugi olla nii palju igapäevaseid rakendusi, kuid see aitab teil kolmnurkadega hõlpsamini töötada. See on kasulik täiendus geomeetriale ja tegelikele mõõtmistele ning sellisena tasub arendada põhitõdesid, isegi kui te ei soovi kunagi edasi liikuda.

Jätkake:
Geomeetria
Algebra sissejuhatus